Naslov (srp)

Оцене раста градијента за функције добијене уопштеним репрезентацијама Пуасоновог типа : докторска дисертација

Autor

Mutavdžić, Nikola M.,

Doprinosi

Knežević, Miljan, 1973-
Jovanović, Božidar
Mateljević, Miodrag, 1949-
Božin, Vladimir, 1983-
Arsenović, Miloš, 1962-
Svetlik, Marek, 1969-

Opis (eng)

In this PhD thesis we investigate bounds of the gradient of harmonic andharmonic quasiconformal mappings. We also discuss such bounds for functions that are har-monic with respect to the hyperbolic metric or certain other metrics. This research hasbeen motivated by some recent results about Lipschitz-continuity of quasiconformal map-pings that satisfy the Laplace gradient inequality. More precisely, the mappings we considerare solutions of the Dirichlet problem for the Poisson equation and can be considered as ageneralization of harmonic mappings. Besides the ball, we also work with general domains onwhich solutions of the Dirichlet problem are defined, as well as general codomains. Finally,we announce new results that have been formulated for regions of C1,α-smoothness, both asthe domain and the codomain.Besides presenting the main results, we give an overview of general notions from differentialgeometry and recall some of the properties of hyperbolic metric in an n-dimensional ball. Wealso state properties of harmonic and sub-harmonic functions with respect to the hyperbolicmetric, which are analogous to some classical results from the theory if harmonic functionsand Hardy’s theory. It turns out that the gradients of hyperbolic harmonic functions behavedifferently from those of euclidean harmonic functions. A similar conclusion is obtainedfor the family of Tα-harmonic functions. Namely, unlike the space of harmonic functions,the solution of the Dirichlet problem in the space of Tα-harmonic functions is shown to beLipschitz-continuous when so is the boundary function. In addition, we investigate Hölder-continuity of the solution of the Dirichlet problem for the Poisson equation in the euclideanand hyperbolic metric.We will present versions of the Schwarz lemma on the boundary for pluriharmonic map-pings in Hilbert and Banach spaces. These results will follow from the version of the Schwarzlemma for harmonic mappings from the unit disc to the interval (−1, 1) without the assump-tion that the point z = 0 maps to itself. Furthermore, we show a version of the boundarySchwarz lemma for harmonic mappings from a ball to a ball, not necessarily of the samedimension. The proof uses a version of the Schwarz lemma for multivariable functions, firstconsidered by Burget. This result is obtained by integrating the Poisson kernel over so-calledpolar caps. The assumption that point z = 0 maps to itself is again not needed, thus yieldinga generalization of a recent result by D. Kalaj. At the end of this section, it is demonstratedthat the analogous result is false in the case of hyperbolic harmonic functions. In a certainsense, this means that the Hopf lemma is not valid for hyperbolic harmonic functions.Amongst various versions of the Schwarz lemma, we have been investigating bounds ofthe modulus for classes of holomorphic functions f on the unit disc whose index If fulfils cer-tain geometric conditions. These classes are a generalization of the star and α-star functions,previously investigated by B. N. Örnek. Our method is based on using Jack’s lemma and canbe applied in certain more general cases. As an illustration, we derive the sharp bounds forthe modulus of a holomorphic function f with index If whose codomain is a vertical strip,as well as bounds for the modulus of the derivative of f at point z = 0. Moreover, we givea bound for the rate of growth of the modulus of holomorphic functions on disk U that mappoint z = 0 to itself and whose codomain is a vertical strip.

Opis (srp)

У овој дисертацији разматрамо оцене градијента за хармонијска и хармонијскаквазиконформна пресликавања, као и за хармонијске функције у односу на фамилијуметрика, међу којима је и хиперболичка метрика. Као мотивација за ово истраживање,приказани су неки нови резултати који говоре о Липшиц-непрекидности квазиконфор-мних пресликавања, која задовољавају Лаплас-Градијентну неједнакост. Прецизније,пресликавања која разматрамо су решења Дирихеловог проблема за Пуасонову једна-чину и представљају уопштење хармонијских пресликавања. Осим лопте, посматране сууопштене области у којима су дефинисана решења Дирихлеовог проблема, а такође иуопштени кодомени. Најављени су нови резултати, који су формулисани за области C1,αглаткости, и на домену и на кодомену.Поред представљања главних резултата, дат је преглед општих појмова из диферен-цијалне геометрије са подсећањем на својства хиперболичке геометрије у n-димензионојлопти. Такође су наведене особине хармонисјких и субхармониских функција у односуна хиперболичку метрику, који су аналогни неким класичним резултатима из хармо-нијских функција и Хардијеве теорије. Испоставило се да постоји разлика у понашањуградијента хиперболичких хармонијских функција у односу на еуклидски хармонијскефункције. Сличан закључак и за фамилију Tα хармонијских функција. Заправо, добијасе да су решења Дирихлеовог проблема за Tα хармонијске функције Липшиц-непрекиднакада је гранична функција Липшиц-непрекидна. Овако нешто не важи за хармонијскефункције. Такође је разматрано својство Хелдер-непрекидности решења Дирихлеовогпроблема за Пуасонову једначину у случајевима еуклидске и хиперболичке метрике.Представљене су верзије Шварцове леме на граници за плурихармонијска пресли-кавања у Хилбертовим и Банаховим просторима. Ови резултати су последице верзијеШварцове леме за хармонијска пресликавања из јединичног диска у интервал (−1, 1)са изостављеном претпоставком да се тачка z = 0 слика у себе. Такође, приказана јеверзија Шврцове леме на граници за хармонијска пресликавања из лопте у лопту, необавезно истих димензија. У доказу је коришћена верзија Шварцове леме за функицјевише променљивих, којим се првим бавио Бургет. То уопштење је изведено интеграцијомПуасоновог језгра по тзв. поларним капама. И у овом случају је изостављена претпо-ставка да се тачка z = 0 слика у себе, што представља уопштење резултата до којег јенедавно дошао Д. Калај. На крају овог поглавља, доказано је да се аналоган резултатне може формулисати у случају хиперболички хармонијских пресликавања. Ова чиње-ница се може протумачити и као доказ да се Хопфова лема не може фомулисати захиперболички хармонијске функције.Међу различитим верзијама Шварцове леме, изучаване су оцене модула за класехоломорфних функција f на јединичном диску, чији индекс If испуњава одговоарајућегеометријске особине. Ове класе су уопштење звездастих и α-звездастих функција, којеје претходно изучавао Б. Н. Орнек. Испитивањем доказа ових специјалних случајевапредстављен је метод који се базира на примени Џекове леме, и који се може применитиу одређеним општијим ситуацијама. Као пример изведене су оштре оцене модула холо-морфне функције f чији индекс If као кодомен има вертикалну траку, као и модулаизвода функције f у тачки z = 0. Дата је и оцена раста модула холоморфних функцијана диску U, које сликају тачку z = 0 у себе и чији је кодомен вертикална трака.

Opis (srp)

Математика - Комплексна анализа / Datum odbrane: 28.09.2023.

Jezik

srpski

Datum

2023

Licenca

© All rights reserved

Predmet

OSNO - Opšta sistematizacija naučnih oblasti, Teorija funkcija

Шварцова лема, Липшиц непрекдност, хармонијске функције, квази- конформна пресликавања, хиперболичка метрика, Пуасоново језгро.

OSNO - Opšta sistematizacija naučnih oblasti, Teorija funkcija

The Schwarz lemma, Lipshitz continuity, harmonic functions, quasiconformal mappings, hyperbolic metric, Poisson’s kernel.